連立方程式の解き方3パターン

連立方程式は中学2年生で学ぶ重要な単元です。2つの未知数を含む2つの方程式を同時に満たす値を求めます。ここでは代入法・加減法・グラフによる解法の3つのパターンを、それぞれ例題を交えながら解説します。

連立方程式とは

連立方程式とは、2つ以上の方程式を同時に成り立たせる未知数の値を求める問題です。中学数学では主に2元1次連立方程式を扱います。

一般的な形は次のようになります。

• ax + by = c
• dx + ey = f

この2つの方程式を同時に満たすx、yの組を「解」と呼びます。

解き方1：加減法

加減法は、2つの方程式を足したり引いたりして、1つの未知数を消去する方法です。最もよく使われる解法です。

基本的な手順

1. どちらかの文字の係数を揃える
2. 2つの式を足すか引いて、その文字を消去する
3. 残った文字の値を求める
4. 求めた値をどちらかの式に代入して、もう1つの文字の値を求める

例題1：係数がそのまま消去できる場合

次の連立方程式を解きましょう。

• 2x + y = 8 … (1)
• 3x - y = 7 … (2)

yの係数が+1と-1なので、2つの式を足すとyが消去できます。

• (1) + (2)：5x = 15
• x = 3
• x = 3を(1)に代入：6 + y = 8、y = 2

答え：x = 3、y = 2

例題2：係数を揃える必要がある場合

• 3x + 2y = 16 … (1)
• 2x + 5y = 18 … (2)

xの係数を揃えるため、(1)を2倍、(2)を3倍します。

• 6x + 4y = 32 … (1)’
• 6x + 15y = 54 … (2)’
• (2)’ - (1)‘：11y = 22
• y = 2
• y = 2を(1)に代入：3x + 4 = 16、3x = 12、x = 4

答え：x = 4、y = 2

解き方2：代入法

代入法は、一方の方程式を変形して1つの文字を他の文字で表し、もう一方の方程式に代入する方法です。

基本的な手順

1. 一方の方程式を「x = …」または「y = …」の形に変形する
2. それをもう一方の方程式に代入する
3. 1つの文字だけの方程式を解く
4. 求めた値からもう1つの文字の値を求める

例題3

• y = 2x - 1 … (1)
• 3x + 2y = 12 … (2)

(1)がすでにy = の形なので、(2)に代入します。

• 3x + 2(2x - 1) = 12
• 3x + 4x - 2 = 12
• 7x = 14
• x = 2
• y = 2(2) - 1 = 3

答え：x = 2、y = 3

代入法が有効な場面

代入法は、次のような場合に特に有効です。

場面	理由
片方の式が「y = …」や「x = …」の形	そのまま代入できる
片方の文字の係数が1	変形が簡単
加減法だと係数が大きくなる場合	計算ミスを減らせる

解き方3：グラフによる解法

連立方程式の解は、2つの一次関数のグラフの交点の座標として求めることもできます。

手順

1. 各方程式をy = の形に変形する
2. それぞれの直線をグラフに描く
3. 2つの直線の交点の座標を読み取る

例題4

• x + y = 5 → y = -x + 5
• x - y = 1 → y = x - 1

2つの直線をグラフに描くと、交点は(3, 2)となります。つまり、x = 3、y = 2が解です。

グラフによる解法は正確な値を求めにくい場合がありますが、解のイメージを掴むのに役立ちます。

特殊なケースへの対処

分数を含む連立方程式

分数を含む場合は、各方程式の両辺に分母の最小公倍数をかけて整数に直してから解きます。

例：(x/2) + (y/3) = 5 の場合、両辺に6をかけて 3x + 2y = 30 とします。

小数を含む連立方程式

小数の場合は、両辺に10や100をかけて整数にします。

例：0.2x + 0.3y = 1.4 の場合、両辺に10をかけて 2x + 3y = 14 とします。

かっこを含む連立方程式

かっこがある場合は、まず分配法則でかっこを外して整理してから解きます。

解なし・解が無数にある場合

• 2つの直線が平行（傾きが同じで切片が異なる）の場合、解は存在しません
• 2つの直線が一致する場合、解は無数に存在します

よくあるミスと対策

連立方程式でよくあるミスとその対策をまとめます。

• 符号のミス：引き算するときに符号を間違えやすいので、1つずつ丁寧に計算する
• 代入のし忘れ：1つの文字を求めたら、必ずもう1つも求める
• 検算をしない：求めた解を両方の方程式に代入して確認する習慣をつける
• 係数を揃え間違う：両辺にかける数を間違えないように注意する

まとめ

連立方程式の3つの解法の特徴を整理します。

解法	特徴	向いている場面
加減法	係数を揃えて消去	一般的な連立方程式
代入法	1つの文字で表して代入	片方の式が簡単な形
グラフ	交点を読み取る	解のイメージを掴みたい時

どの方法を使っても正しい解が得られますが、問題の形に応じて最も計算が簡単になる方法を選ぶことが大切です。日頃から多くの問題に取り組み、状況に応じた解法選択ができるようにしておきましょう。