確率の問題パターンと解法
確率は入試で頻出の分野であり、正しく解くためには場合の数の数え方と確率の計算方法の両方を理解する必要があります。ここでは入試で出題される確率問題のパターンを整理し、それぞれの解法を解説します。
確率の基本
確率の定義
ある試行において、すべての場合が同様に確からしいとき、事象Aの起こる確率P(A)は次のように定義されます。
P(A) = 事象Aの場合の数 / すべての場合の数
確率の値は 0 <= P(A) <= 1 の範囲をとり、P(A) = 0 は絶対に起こらないこと、P(A) = 1 は必ず起こることを意味します。
余事象の確率
事象Aが起こらない確率は次の通りです。
P(Aの余事象) = 1 - P(A)
「少なくとも1つ」という条件の問題では、余事象を使うと計算が簡単になることが多いです。
場合の数の求め方
順列
n個のものからr個を選んで並べる場合の数（順列）は次の公式で求められます。
nPr = n! / (n - r)!
例：5人から3人を選んで一列に並べる場合の数
5P3 = 5 x 4 x 3 = 60 通り
組み合わせ
n個のものからr個を選ぶ場合の数（組み合わせ）は次の公式です。
nCr = n! / (r!(n - r)!)
例：5人から3人を選ぶ場合の数
5C3 = (5 x 4 x 3) / (3 x 2 x 1) = 10 通り
順列と組み合わせの使い分け
| 問題のタイプ | 使う公式 |
|---|---|
| 並び方（順序がある） | 順列 nPr |
| 選び方（順序がない） | 組み合わせ nCr |
| 並べ方が円形 | 円順列 (n-1)! |
| 同じものを含む並べ方 | n! / (p!q!…) |
サイコロの確率
1個のサイコロ
1個のサイコロを投げるとき、全事象は6通りです。
例題：1個のサイコロを投げて3以下の目が出る確率
P = 3/6 = 1/2
2個のサイコロ
2個のサイコロを投げるとき、全事象は6 x 6 = 36通りです。
例題：2個のサイコロの目の和が7になる確率
和が7になる組み合わせ：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)の6通り
P = 6/36 = 1/6
目の和の確率一覧
| 和 | 場合の数 | 確率 |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 |
| 3 | 2 | 2/36 |
| 4 | 3 | 3/36 |
| 5 | 4 | 4/36 |
| 6 | 5 | 5/36 |
| 7 | 6 | 6/36 |
| 8 | 5 | 5/36 |
| 9 | 4 | 4/36 |
| 10 | 3 | 3/36 |
| 11 | 2 | 2/36 |
| 12 | 1 | 1/36 |
コイン・カードの確率
コインの確率
n枚のコインを投げるとき、全事象は2^n通りです。
例題：3枚のコインを投げて、ちょうど2枚が表になる確率
3枚中2枚が表になる組み合わせ：3C2 = 3通り
P = 3/8
カードの確率
カードを引く問題では、引く順番の有無に注意します。
例題：1から10までの10枚のカードから3枚を引くとき、3枚とも偶数である確率
偶数カード（2,4,6,8,10）は5枚
P = 5C3 / 10C3 = 10/120 = 1/12
樹形図と表の活用
樹形図
樹形図は、起こりうる結果を木の枝のように書き出す方法です。場合の数が少ないとき、もれなく数え上げるのに有効です。
表
2つの試行の結果を表で整理する方法は、サイコロ2個の問題などで特に有効です。すべての組み合わせを視覚的に把握できます。
独立試行の確率
独立試行とは
2つの試行が互いに影響しない場合、それらは独立であるといいます。
独立試行の確率
事象Aと事象Bが独立のとき、
P(AかつB) = P(A) x P(B)
反復試行の確率
同じ試行をn回繰り返すとき、事象Aがちょうどr回起こる確率は次の通りです。
P = nCr x p^r x (1-p)^(n-r)
ここでpは1回の試行でAが起こる確率です。
例題：サイコロを4回投げて、ちょうど2回6の目が出る確率
P = 4C2 x (1/6)^2 x (5/6)^2 = 6 x (1/36) x (25/36) = 150/1296 = 25/216
条件付き確率
定義
事象Bが起こったという条件のもとで事象Aが起こる確率を条件付き確率と呼び、次のように定義します。
P(A|B) = P(AかつB) / P(B)
例題
袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。1個ずつ2回取り出すとき（戻さない）、1個目が赤玉で2個目も赤玉である確率を求めます。
P(1個目が赤) = 3/5
P(2個目も赤 | 1個目が赤) = 2/4 = 1/2
P(両方赤) = 3/5 x 1/2 = 3/10
まとめ
確率問題を確実に解くためのポイントです。
- 全事象の数を正確に把握する
- 順列と組み合わせを正しく使い分ける
- 「少なくとも」の問題は余事象を活用する
- 樹形図や表を使ってもれなく数える
- 独立試行と条件付き確率の違いを理解する
確率は問題をよく読み、状況を正確に把握することが最も重要です。