図形の証明問題の解き方

図形の証明問題は入試で差がつきやすい分野です。論理的に筋道を立てて解答を書く力が求められます。ここでは証明問題を解くための基本的な手順とコツ、そして頻出パターンを紹介します。

証明問題の基本

証明とは

数学における証明とは、すでに正しいと認められている性質（定義、定理、公理など）を根拠として、ある命題が正しいことを論理的に示すことです。

証明の書き方の基本構成

仮定の確認：問題で与えられた条件を明記する
論証：定理や性質を根拠に論理を展開する
結論：証明すべきことが成り立つことを述べる

証明問題を解く手順

図を丁寧に描く
仮定（与えられた条件）と結論（示すべきこと）を明確にする
結論から逆にたどって、何がわかれば証明できるか考える
仮定から使える性質を洗い出す
証明の筋道を組み立てて書く

三角形の合同の証明

合同条件

2つの三角形が合同であるための条件は次の3つです。

合同条件	内容
3辺相等	3組の辺がそれぞれ等しい
2辺挟角	2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
1辺両端角	1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

直角三角形の合同条件

直角三角形の場合、上記に加えて次の条件も使えます。

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

証明の書き方の例

例題：二等辺三角形ABCの頂角Aの二等分線と底辺BCとの交点をDとする。三角形ABDと三角形ACDが合同であることを証明せよ。

証明：三角形ABDと三角形ACDにおいて、

仮定より AB = AC … (1)

ADは角Aの二等分線なので、角BAD = 角CAD … (2)

ADは共通 … (3)

(1)(2)(3)より、2辺挟角の合同条件を満たすから、三角形ABD ≡ 三角形ACD

三角形の相似の証明

相似条件

2つの三角形が相似であるための条件は次の3つです。

相似条件	内容
3辺比	3組の辺の比がそれぞれ等しい
2辺比挟角	2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
2角相等	2組の角がそれぞれ等しい

相似の証明でよく使う性質

平行線と線分の比の定理
中点連結定理
円周角の定理

証明の例

例題：三角形ABCの辺AB上の点Dと辺AC上の点Eについて、DE // BC のとき、三角形ADEと三角形ABCが相似であることを証明せよ。

証明：三角形ADEと三角形ABCにおいて、

DE // BC より、平行線の同位角は等しいから、

角ADE = 角ABC … (1)

角AED = 角ACB … (2)

(1)(2)より、2組の角がそれぞれ等しいから、三角形ADE ∽ 三角形ABC

角度に関する証明

よく使う角度の性質

性質	内容
対頂角	対頂角は等しい
同位角	平行線の同位角は等しい
錯角	平行線の錯角は等しい
三角形の内角の和	180度
三角形の外角	隣り合わない2つの内角の和に等しい
円周角の定理	同じ弧に対する円周角は等しい

角度の証明のコツ

角度の証明では、等しい角度に同じ印をつけていくと関係が見えやすくなります。また、「角度Xを2通りの方法で表す」というアプローチも有効です。

平行四辺形に関する証明

平行四辺形の性質

2組の対辺がそれぞれ平行
2組の対辺がそれぞれ等しい
2組の対角がそれぞれ等しい
対角線がそれぞれの中点で交わる

平行四辺形になる条件

四角形が平行四辺形であることを証明するには、次のいずれかを示せばよいです。

2組の対辺がそれぞれ平行
2組の対辺がそれぞれ等しい
2組の対角がそれぞれ等しい
対角線がそれぞれの中点で交わる
1組の対辺が平行かつ等しい

円に関する証明

円の性質を使った証明

円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい
円周角と中心角：中心角は同じ弧に対する円周角の2倍
接線と半径：接点において接線と半径は垂直
接線と弦のなす角：接線と弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しい（接弦定理）

方べきの定理

円と2本の直線に関する定理で、入試でも頻出です。

円の2つの弦AB、CDの交点をPとすると、PA x PB = PC x PD が成り立ちます。

証明問題で高得点を取るコツ

答案の書き方

「仮定より」「定理より」など根拠を明記する
式番号をつけて参照しやすくする
結論を明確に書く（「よって〜が成り立つ」）
飛躍のない論理展開を心がける

よくある減点ポイント

根拠の不記載（「明らかに」の多用）
合同条件・相似条件の名称の書き忘れ
仮定と結論の取り違え
論理の飛躍（途中の説明不足）

まとめ

図形の証明問題を攻略するためのポイントです。

図を丁寧に描き、仮定と結論を明確にする
合同条件と相似条件は正確に覚える
結論から逆算して必要な条件を考える
根拠を明記した論理的な答案を書く
多くの問題を解いて証明のパターンを身につける

証明問題は練習量が成果に直結する分野です。基本パターンを繰り返し練習しましょう。