積分の基本と面積の求め方
積分は微分の逆演算として定義され、関数で囲まれた図形の面積を求める際に活躍します。ここでは不定積分と定積分の基本公式、そして面積計算への応用を解説します。
不定積分
不定積分とは
微分すると f(x) になる関数 F(x) を、f(x) の原始関数と呼びます。f(x) の原始関数全体を不定積分と呼び、次のように表します。
∫f(x)dx = F(x) + C（Cは積分定数）
積分定数Cがつくのは、定数を微分すると0になるため、微分の逆演算では定数分の不定性が残るからです。
基本公式
| 関数 f(x) | 不定積分 ∫f(x)dx |
|---|---|
| x^n (n ≠ -1) | x^(n+1)/(n+1) + C |
| 定数 a | ax + C |
| x | x^2/2 + C |
| x^2 | x^3/3 + C |
| x^3 | x^4/4 + C |
一般に、x^n の積分は指数を1つ上げて新しい指数で割ります。これは微分の逆操作です。
積分の性質
次の性質が成り立ちます。
- ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx（定数は外に出せる）
- ∫{f(x) + g(x)}dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（和の積分）
- ∫{f(x) - g(x)}dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx（差の積分）
計算例
例題1：∫(3x^2 + 4x - 2)dx を求めよ。
∫(3x^2 + 4x - 2)dx = x^3 + 2x^2 - 2x + C
各項を個別に積分します。
例題2：∫(x + 1)^2 dx を求めよ。
まず展開します。(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
∫(x^2 + 2x + 1)dx = x^3/3 + x^2 + x + C
定積分
定積分とは
定積分は不定積分に上端と下端の値を代入した差として定義されます。
∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a)
ここでF(x)はf(x)の原始関数です。定積分は具体的な数値を与え、積分定数Cは打ち消されます。
この値を [F(x)]_a^b と表すこともあります。
計算例
例題：∫[1→3] (2x + 1)dx を計算せよ。
- ∫(2x + 1)dx = x^2 + x なので
- [x^2 + x]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10
定積分の性質
| 性質 | 式 |
|---|---|
| 区間の分割 | ∫[a→b] = ∫[a→c] + ∫[c→b] |
| 上端と下端の入れ替え | ∫[a→b] = -∫[b→a] |
| 同じ端点 | ∫[a→a] f(x)dx = 0 |
面積の計算
曲線とx軸の間の面積
y = f(x) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積は定積分で求められます。
f(x) >= 0 のとき：S = ∫[a→b] f(x)dx
f(x) <= 0 のとき：S = -∫[a→b] f(x)dx = ∫[a→b] |f(x)|dx
面積は常に正の値なので、グラフがx軸の下にある場合は符号に注意が必要です。
例題1：x軸との間の面積
y = x^2 - 4 とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。
まずx軸との交点を求めます。x^2 - 4 = 0 より x = -2, 2
-2 <= x <= 2 の範囲で y <= 0 なので、
S = -∫[-2→2] (x^2 - 4)dx = -[x^3/3 - 4x]_{-2}^{2}
= -[(8/3 - 8) - (-8/3 + 8)]
= -[8/3 - 8 + 8/3 - 8]
= -[16/3 - 16]
= -[-32/3]
= 32/3
2つの曲線の間の面積
y = f(x) と y = g(x) で囲まれた部分の面積は、上側の関数から下側の関数を引いて積分します。
f(x) >= g(x) のとき：S = ∫[a→b] {f(x) - g(x)}dx
例題2：2つの関数に囲まれた面積
y = -x^2 + 4 と y = x で囲まれた部分の面積を求めます。
交点を求めます。-x^2 + 4 = x より x^2 + x - 4 = 0
解の公式より x = (-1 + √17)/2, (-1 - √17)/2
交点間の区間で上側の関数から下側を引いて積分することで面積が求められます。
積分と微分の関係
微積分学の基本定理
次の関係が成り立ちます。
d/dx ∫[a→x] f(t)dt = f(x)
つまり、定積分の上端をxとした関数を微分するともとの関数に戻ります。これは微分と積分が逆演算の関係にあることを示しています。
確認問題
F(x) = ∫[0→x] (3t^2 - 2t)dt のとき、F’(x)を求めます。
F’(x) = 3x^2 - 2x
まとめ
積分法の学習ポイントを整理します。
- 不定積分は微分の逆操作で、積分定数Cを忘れない
- x^n の積分は指数を1つ上げて新しい指数で割る
- 定積分は原始関数に上端・下端の値を代入した差
- 面積計算ではグラフの上下関係を正しく把握する
- x軸より下にある部分の面積は符号を反転させる
積分は微分と表裏一体の関係にあり、両方を合わせて理解することが大切です。