確率パズル10選｜直感を裏切る問題であなたの論理力を試す

確率の世界には、私たちの直感を見事に裏切る問題がたくさんあります。「こっちのほうが確率が高いに決まっている」と思った答えが実は間違いだった、という経験は確率パズルの醍醐味です。

この記事では、有名な確率パズルから日常的な場面を題材にした問題まで10問を集めました。数学の専門知識がなくても考えられる問題ばかりですが、正解するには慎重な論理的思考が必要です。各問題にヒントがついているので、詰まったら参考にしてください。

問題編

第1問：モンティ・ホール問題

テレビのゲーム番組に出演しています。目の前に3つの扉があり、1つの扉の後ろに車（当たり）、残り2つの後ろにヤギ（ハズレ）がいます。

あなたが扉Aを選んだあと、正解を知っている司会者がハズレの扉（たとえば扉C）を開けてヤギを見せてくれました。司会者は必ずハズレの扉を開けるルールです。

「扉Bに変更しますか？」と聞かれました。変更すべきでしょうか、そのままにすべきでしょうか？

ヒント: 最初に選んだ扉が当たりの確率と、残りの扉が当たりの確率を、司会者が扉を開ける前と後でそれぞれ考えてみよう。最初の選択が当たりの確率は1/3だったけど、司会者が1つ開けた後は？

第2問：誕生日のパラドックス

クラスに何人いれば、同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるでしょうか？次の選択肢から選んでください。

（A）23人　（B）50人　（C）183人　（D）366人

ヒント: 365日もあるのだから相当な人数が必要と思うかもしれないけど、「誰かと誰かが同じ」であれば良い点がポイント。特定の日である必要はなく、ペアの組み合わせ数に注目しよう。

第3問：封筒問題

2つの封筒があり、一方にはもう一方の2倍の金額が入っています。あなたは封筒Aを開けると1万円入っていました。

ここで考えます。「封筒Bに変えれば、5千円か2万円のどちらかだ。期待値は(5000+20000)/2=12500円。今の1万円より高いから変えたほうが得だ。」

この推論は正しいでしょうか？

ヒント: 封筒のペアとして「5千円と1万円」の場合と「1万円と2万円」の場合が同じ確率で起こるのか、を考えてみよう。期待値の計算に使っている前提は本当に正しい？

第4問：少なくとも一人は女の子

ある夫婦には子供が2人います。「少なくとも一人は女の子です」という情報がわかっています。もう一人も女の子である確率はいくらでしょうか？

（A）1/2　（B）1/3　（C）2/3

ヒント: 子供2人の性別パターンをすべて書き出そう。（男男）（男女）（女男）（女女）の4通り。「少なくとも一人は女の子」でどのパターンが除外される？残ったパターンのうち「両方女の子」は何通り？

第5問：コインの連続投げ

公平なコインを5回投げて、5回とも表が出ました。6回目に表が出る確率はいくらでしょうか？

（A）1/2より低い（そろそろ裏が出るはず）（B）ちょうど1/2 （C）1/2より高い（表の流れが来ている）

ヒント: コインには記憶力があるだろうか？前に何が出たかを覚えていて、次の結果を変えることはあるだろうか？

第6問：病気の検査

ある病気は1000人に1人がかかります。この病気を調べる検査は、病気の人を99%の確率で「陽性」と判定し、健康な人を99%の確率で「陰性」と判定します。

あなたが検査を受けて「陽性」と出ました。あなたが実際に病気である確率はどのくらいでしょうか？

（A）約99%　（B）約50%　（C）約9%　（D）約1%

ヒント: 1000人が検査を受けたとして考えよう。病気の人は1人で、その人が陽性になる確率は99%。健康な人は999人で、その中で誤って陽性になる人は？「陽性」全員の中で本当に病気の人の割合は？

第7問：3囚人問題

死刑囚A、B、Cの3人のうち、1人だけが恩赦で助かることになりました。誰が助かるかは決定済みですが、本人たちには知らされていません。

Aは看守に「BとCのうち、処刑される方の名前を1人教えてくれ」と頼みました。看守は「Bは処刑される」と答えました。

Aは考えました。「最初、自分が助かる確率は1/3だった。今、Bが処刑されるとわかったから、助かるのは自分かCの二択。確率は1/2に上がった。」

Aの推論は正しいでしょうか？看守の回答後、Aが助かる確率はいくつでしょうか？

ヒント: 第1問のモンティ・ホール問題と同じ構造の問題です。看守はAに不利な情報を言えない（Aが処刑されるとは言えない）制約があることに注意しよう。

第8問：ロシアンルーレット

6発入るリボルバーに弾が2発、隣り合う位置に装填されています。シリンダーをランダムに回転させて引き金を引いたところ、弾は出ませんでした。

次にもう一度引き金を引くとき、シリンダーをもう一度回転させてから撃つのと、そのまま続けて撃つのでは、どちらが生存確率が高いでしょうか？

ヒント: 弾が2発隣り合っているということは、6つの位置のうち弾がない4つの位置のどこかにいることがわかった。その4つの位置のうち、「次の位置」に弾があるのは何箇所？一方、回転させた場合は完全にリセットされるので確率は？

第9問：サイコロの期待値

サイコロを1回振って、出た目の数だけ1000円もらえるゲームがあります。ただし、1回振った後に「もう1回振り直す」ことも選べます（振り直した場合は、振り直した目の分だけもらえ、最初の目は無効）。

最適な戦略は何でしょうか？つまり、何の目が出たら振り直すべきでしょうか？

ヒント: 振り直した場合の期待値を計算しよう。サイコロの期待値は(1+2+3+4+5+6)/6。この値より低い目が出たら振り直すべき？

第10問：無限のサルとシェイクスピア

サルがランダムにタイプライターのキーを打ち続けるとします。十分に長い時間が与えられれば、サルがシェイクスピアの全作品を偶然タイプする確率について、正しい記述はどれでしょうか？

（A）確率は0。ランダムでは絶対にありえない。（B）確率は0に限りなく近いが、無限の時間があれば確率1（確実）に近づく。（C）確率は低いが、有限の時間でも十分起こりうる。

ヒント: 「確率が0でない事象は、試行を無限に繰り返せばほぼ確実に起こる」という確率論の定理を思い出そう。1ページ分をタイプする確率は天文学的に小さいけど、0ではない。

答えと解説

第1問の答え：変更すべき

解説: これは「モンティ・ホール問題」として知られる世界一有名な確率パズルです。

最初に扉Aを選んだ時点で、当たりの確率は次の通りです。

扉A：1/3
扉Bまたは扉C：2/3

司会者がハズレの扉Cを開けた後、扉Aが当たりの確率は1/3のまま変わりません。なぜなら、司会者は必ずハズレの扉を開けるルールなので、司会者の行動はあなたの選択が正しいかどうかに関する新しい情報を与えません。

残りの2/3の確率は、すべて扉Bに集中します（扉Cはもう除外されたため）。よって、変更すれば当たる確率は2/3、変更しなければ1/3です。変更したほうが2倍有利です。

直感的には「2択になったから1/2ずつ」と感じますが、これは誤りです。

第2問の答え：（A）23人

解説: たった23人で50%を超えるというのは多くの人が驚く結果です。

ポイントは「ペアの数」です。23人いると、2人の組み合わせは23x22/2＝253通りもあります。各ペアが同じ誕生日である確率は低くても、253回のチャンスがあれば全体として50%を超えるのです。

正確な計算は「全員の誕生日が異なる確率」を求めて1から引きます。

2人目が1人目と異なる確率：364/365
3人目が上の2人と異なる確率：363/365
…
23人目：343/365

これらを掛け合わせると約0.493。つまり全員異なる確率が約49.3%で、誰かが一致する確率は約50.7%です。

第3問の答え：この推論は正しくない

解説: これは「二封筒問題」と呼ばれる有名なパラドックスです。

一見合理的に見える期待値計算には誤りがあります。「封筒Bが5千円である確率」と「封筒Bが2万円である確率」をどちらも1/2としていますが、これは封筒のペアについて暗黙の仮定をしています。

実際には、封筒のペアが「5千円と1万円」である場合と「1万円と2万円」である場合の確率は、封筒の金額がどのような分布で選ばれたかに依存します。この情報なしに期待値を計算することはできません。

もし上記の推論が正しければ、封筒を開けずに交換しても同じ議論が成り立ち、永遠に交換し続けることになるという矛盾が生じます。

第4問の答え：（B）1/3

解説: 子供2人の性別パターンは以下の4通りで、それぞれ等確率です。

第1子＝男、第2子＝男
第1子＝男、第2子＝女
第1子＝女、第2子＝男
第1子＝女、第2子＝女

「少なくとも一人は女の子」という条件でパターン1が除外されます。残りは2、3、4の3通り。このうち「もう一人も女の子」（両方女の子）はパターン4の1通りだけ。

よって確率は1/3です。多くの人が「女の子がいるのだから、もう一人は男か女の1/2」と答えますが、条件付き確率を正しく計算すると1/3になります。

ただし注意点があります。「上の子は女の子です」のように特定の子が女の子だとわかっている場合は、もう一人が女の子の確率は1/2です。「少なくとも一人」という表現が確率を変えるのです。

第5問の答え：（B）ちょうど1/2

解説: 公平なコインの各投げは独立事象です。コインには記憶がないので、過去に何回表が出たかは次の結果に一切影響しません。

「5回も続けて表が出たのだから、そろそろ裏が出るはず」という考えは「ギャンブラーの誤謬（ごびゅう）」と呼ばれる典型的な思考の罠です。カジノで赤が10回続いた後に「次は黒だ」と賭ける人が多いのもこれが理由ですが、確率的にはまったく根拠がありません。

6回目に表が出る確率は、何が起きた後であろうと常に1/2です。

第6問の答え：（C）約9%

解説: これは「ベイズの定理」の典型的な応用問題で、「検査のパラドックス」とも呼ばれます。

10万人で考えてみましょう。

病気の人：100人。うち陽性（正しく検出）：99人。
健康な人：99,900人。うち誤って陽性（偽陽性）：999人。
陽性の合計：99＋999＝1,098人。
陽性のうち本当に病気：99人。

確率＝99/1098＝約9.0%

検査の精度が99%もあるのに、陽性と出ても実際に病気である確率は約9%しかありません。これは病気自体がとても稀（0.1%）なので、健康な人の中から出る偽陽性の数が、本当の陽性の数を圧倒してしまうためです。

この考え方は、がん検診の結果の解釈や、PCR検査の陽性的中率の議論でも重要です。

第7問の答え：Aの推論は誤り。確率は1/3のまま。

解説: この問題はモンティ・ホール問題と本質的に同じ構造です。

看守が「Bは処刑される」と言った後のAの助かる確率を考えます。

看守はルールとして、Aが処刑されるかどうかは教えられません。つまり看守は「BかCのうち処刑される方」を答えただけです。

場合分けすると：

Aが助かる場合（確率1/3）：BもCも処刑される。看守はBかCのどちらかを言う。
Bが助かる場合（確率1/3）：看守は「C」と言う（Bが助かるとは言えないので）。
Cが助かる場合（確率1/3）：看守は「B」と言う（Cが助かるとは言えないので）。

看守が「B」と答えたケースだけを見ると：

Aが助かる場合で看守がBと言う確率：1/3 x 1/2 ＝ 1/6
Cが助かる場合で看守がBと言う確率：1/3 x 1 ＝ 1/3

よってAが助かる確率は(1/6)/(1/6+1/3)＝1/3。Cが助かる確率は2/3。

Aの確率は1/3のまま変わっていません。

第8問の答え：そのまま続けて撃つほうが生存確率が高い

解説: シリンダーの6つの位置を1から6とし、弾が位置1と2にあるとします。

1回目に弾が出なかったということは、今いる位置は3、4、5、6のいずれかです（等確率で1/4ずつ）。

そのまま次を撃つ場合、次の位置は4、5、6、1になります。

位置3にいた場合→次は4→弾なし（生存）
位置4にいた場合→次は5→弾なし（生存）
位置5にいた場合→次は6→弾なし（生存）
位置6にいた場合→次は1→弾あり（死亡）

生存確率＝3/4＝75%

回転させてから撃つ場合、完全にランダムになるので弾が出ない確率は4/6＝約66.7%。

よって、そのまま続けるほうが75%で、回転させる66.7%より生存確率が高くなります。

第9問の答え：3以下が出たら振り直す

解説: サイコロ1回の期待値は(1+2+3+4+5+6)/6＝3.5。つまり振り直した場合の期待値は3500円です。

よって、最初に出た目が3以下（1000円、2000円、3000円）の場合は、振り直した期待値3500円のほうが高いので振り直すべきです。4以上（4000円、5000円、6000円）が出た場合は、そのままもらうほうが得です。

この戦略を使った場合の全体の期待値は：

1、2、3が出る確率（各1/6）→振り直して期待値3500円
4、5、6が出る確率（各1/6）→そのまま

期待値＝(3/6)x3500 + (1/6)x4000 + (1/6)x5000 + (1/6)x6000 ＝1750 + 666.7 + 833.3 + 1000 ＝4250円

振り直しなしの期待値3500円に比べて、最適戦略では4250円と約21%も増えます。

第10問の答え：（B）

解説: これは「無限の猿定理」として知られる確率論の定理です。

任意の有限の文字列（シェイクスピアの全作品を含む）をランダムにタイプする確率は、天文学的に小さいですが厳密に0ではありません。

確率論の定理（ボレル・カンテリの補題の系）により、確率が0でない事象は、独立な試行を無限に繰り返すと、ほぼ確実に（確率1で）少なくとも1回は起こります。

つまり、無限の時間があれば、サルはシェイクスピアの全作品をほぼ確実にタイプします。ただし「有限の時間」では現実的にはほぼ不可能です。宇宙の年齢（約138億年）をはるかに超える時間が必要になるでしょう。

この定理は「確率が低い」ことと「不可能」の違いを教えてくれます。

まとめ

確率パズル10問、いくつ正解できましたか？

正解数による評価:

8問以上正解: 確率的思考の達人です。直感に惑わされず、論理的に考える力が素晴らしい。ベイズ推論やゲーム理論の分野にも興味を持ってみてはいかがでしょうか。
5問から7問正解: 確率の罠に対する警戒心がしっかりあります。間違えた問題の解説を読み込めば、さらに確率的直感が磨かれるでしょう。
3問から4問正解: 確率パズルの洗礼を受けましたね。人間の直感が確率に対していかに頼りないかを実感できたのではないでしょうか。解説を読んで「なぜ直感が間違えるのか」を理解することが大切です。
2問以下: 心配いりません。確率パズルは専門家でも間違えることがあるほど難しいジャンルです。モンティ・ホール問題は数学者の間でも大論争になったほどです。解説をじっくり読んで、一つずつ理解していきましょう。

確率パズルが教えてくれる最も大切な教訓は、「自分の直感を疑う」ということです。私たちの脳は確率を正しく処理するように進化していないため、日常的に確率の判断を誤っています。ギャンブル、医療検査の結果、リスクの評価など、確率的思考が求められる場面は意外と多いもの。この記事の問題で鍛えた考え方を、ぜひ日常にも活かしてみてください。