三角関数の公式一覧
三角関数の公式は高校数学IIで学ぶ重要な内容です。加法定理を基本として、倍角・半角公式、積和・和積公式、合成公式など多くの公式が導かれます。ここではそれらの公式を体系的に整理して紹介します。
基本的な性質
三角関数の定義
単位円（半径1の円）上の点P(cos θ, sin θ)に対して、三角関数は次のように定義されます。
- sin θ：y座標
- cos θ：x座標
- tan θ：sin θ / cos θ
相互関係
三角関数の間には次の3つの基本的な関係式が成り立ちます。
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| tan θ = sin θ / cos θ | タンジェントの定義 |
| sin^2 θ + cos^2 θ = 1 | ピタゴラスの関係 |
| 1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ | タンジェントとコサインの関係 |
周期性
- sin θ、cos θ の周期は2π
- tan θ の周期はπ
偶奇性
- sin(-θ) = -sin θ（奇関数）
- cos(-θ) = cos θ（偶関数）
- tan(-θ) = -tan θ（奇関数）
加法定理
加法定理は三角関数の公式の中で最も重要な公式です。他の多くの公式がここから導かれます。
sin の加法定理
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos の加法定理
- cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tan の加法定理
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
- tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
活用例
sin 75度 の値を加法定理で求めます。
sin 75度 = sin(45度 + 30度)
= sin 45度 cos 30度 + cos 45度 sin 30度
= (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)
= (√3 + 1) / (2√2)
= (√6 + √2) / 4
倍角公式
倍角公式は加法定理でα = βとおくことで導かれます。
sin の倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α
cos の倍角公式
cos 2α = cos^2 α - sin^2 α
この公式は次の2つの形に変形できます。
- cos 2α = 2cos^2 α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin^2 α
tan の倍角公式
tan 2α = 2tan α / (1 - tan^2 α)
半角公式
半角公式はcosの倍角公式を変形して得られます。
公式一覧
- sin^2 (α/2) = (1 - cos α) / 2
- cos^2 (α/2) = (1 + cos α) / 2
- tan^2 (α/2) = (1 - cos α) / (1 + cos α)
活用例
cos 15度 の値を求めます。
cos^2 15度 = (1 + cos 30度) / 2 = (1 + √3/2) / 2 = (2 + √3) / 4
cos 15度 > 0 なので、cos 15度 = √((2 + √3)/4) = (√6 + √2) / 4
積和公式
2つの三角関数の積を和（差）に変換する公式です。
| 公式 |
|---|
| sin α cos β = {sin(α+β) + sin(α-β)} / 2 |
| cos α sin β = {sin(α+β) - sin(α-β)} / 2 |
| cos α cos β = {cos(α+β) + cos(α-β)} / 2 |
| sin α sin β = -{cos(α+β) - cos(α-β)} / 2 |
積和公式は積分の計算でよく使われます。
和積公式
2つの三角関数の和（差）を積に変換する公式です。
| 公式 |
|---|
| sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2) |
| sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2) |
| cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2) |
| cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) |
和積公式は方程式の解法や式の簡略化に役立ちます。
三角関数の合成
合成公式
a sin θ + b cos θ = √(a^2 + b^2) sin(θ + φ)
ただし cos φ = a/√(a^2+b^2)、sin φ = b/√(a^2+b^2)
活用例
sin θ + √3 cos θ を合成します。
a = 1、b = √3 なので、
√(1 + 3) = 2
sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3)
合成することで、最大値・最小値の問題や方程式の問題が解きやすくなります。
合成の手順
- a sin θ + b cos θ の形を確認する
- √(a^2 + b^2) を計算する
- φ の値を求める（cos φ と sin φ から角度を特定）
- sin(θ + φ) の形に書き換える
公式の覚え方のコツ
三角関数の公式は数が多いですが、加法定理を確実に覚えておけば、他の公式は導出できます。
- 倍角公式：加法定理でα = βとする
- 半角公式：cosの倍角公式を変形する
- 積和公式：加法定理を足したり引いたりする
- 和積公式：積和公式の逆
すべてを丸暗記する必要はなく、加法定理から導けるようにしておくことが実践的です。
まとめ
三角関数の公式体系を整理します。
- 加法定理がすべての基本となる
- 倍角・半角公式は加法定理から導出できる
- 積和・和積公式は積分や方程式で活用する
- 合成公式は最大最小問題に有効
- 公式の丸暗記よりも導出過程の理解が大切
三角関数の公式を使いこなせるようになると、数学IIの問題だけでなく、数学IIIや物理の問題も格段に解きやすくなります。