三角関数の公式一覧

三角関数の公式は高校数学IIで学ぶ重要な内容です。加法定理を基本として、倍角・半角公式、積和・和積公式、合成公式など多くの公式が導かれます。ここではそれらの公式を体系的に整理して紹介します。

基本的な性質

三角関数の定義

単位円（半径1の円）上の点P(cos θ, sin θ)に対して、三角関数は次のように定義されます。

sin θ：y座標
cos θ：x座標
tan θ：sin θ / cos θ

相互関係

三角関数の間には次の3つの基本的な関係式が成り立ちます。

公式	内容
tan θ = sin θ / cos θ	タンジェントの定義
sin^2 θ + cos^2 θ = 1	ピタゴラスの関係
1 + tan^2 θ = 1/cos^2 θ	タンジェントとコサインの関係

周期性

sin θ、cos θ の周期は2π
tan θ の周期はπ

偶奇性

sin(-θ) = -sin θ（奇関数）
cos(-θ) = cos θ（偶関数）
tan(-θ) = -tan θ（奇関数）

加法定理

加法定理は三角関数の公式の中で最も重要な公式です。他の多くの公式がここから導かれます。

sin の加法定理

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos の加法定理

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan の加法定理

tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)

活用例

sin 75度の値を加法定理で求めます。

sin 75度 = sin(45度 + 30度)

= sin 45度 cos 30度 + cos 45度 sin 30度

= (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)

= (√3 + 1) / (2√2)

= (√6 + √2) / 4

倍角公式

倍角公式は加法定理でα = βとおくことで導かれます。

sin の倍角公式

sin 2α = 2 sin α cos α

cos の倍角公式

cos 2α = cos^2 α - sin^2 α

この公式は次の2つの形に変形できます。

cos 2α = 2cos^2 α - 1
cos 2α = 1 - 2sin^2 α

tan の倍角公式

tan 2α = 2tan α / (1 - tan^2 α)

半角公式

半角公式はcosの倍角公式を変形して得られます。

公式一覧

sin^2 (α/2) = (1 - cos α) / 2
cos^2 (α/2) = (1 + cos α) / 2
tan^2 (α/2) = (1 - cos α) / (1 + cos α)

活用例

cos 15度の値を求めます。

cos^2 15度 = (1 + cos 30度) / 2 = (1 + √3/2) / 2 = (2 + √3) / 4

cos 15度 > 0 なので、cos 15度 = √((2 + √3)/4) = (√6 + √2) / 4

積和公式

2つの三角関数の積を和（差）に変換する公式です。

公式
sin α cos β = {sin(α+β) + sin(α-β)} / 2
cos α sin β = {sin(α+β) - sin(α-β)} / 2
cos α cos β = {cos(α+β) + cos(α-β)} / 2
sin α sin β = -{cos(α+β) - cos(α-β)} / 2

積和公式は積分の計算でよく使われます。

和積公式

2つの三角関数の和（差）を積に変換する公式です。

公式
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

和積公式は方程式の解法や式の簡略化に役立ちます。

三角関数の合成

合成公式

a sin θ + b cos θ = √(a^2 + b^2) sin(θ + φ)

ただし cos φ = a/√(a^2+b^2)、sin φ = b/√(a^2+b^2)

活用例

sin θ + √3 cos θ を合成します。

a = 1、b = √3 なので、

√(1 + 3) = 2

sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3)

合成することで、最大値・最小値の問題や方程式の問題が解きやすくなります。

合成の手順

a sin θ + b cos θ の形を確認する
√(a^2 + b^2) を計算する
φ の値を求める（cos φ と sin φ から角度を特定）
sin(θ + φ) の形に書き換える

公式の覚え方のコツ

三角関数の公式は数が多いですが、加法定理を確実に覚えておけば、他の公式は導出できます。

倍角公式：加法定理でα = βとする
半角公式：cosの倍角公式を変形する
積和公式：加法定理を足したり引いたりする
和積公式：積和公式の逆

すべてを丸暗記する必要はなく、加法定理から導けるようにしておくことが実践的です。

理解を深めるためのアドバイス

図やグラフを活用する

数学の抽象的な概念は、図やグラフを描くことで直感的に理解しやすくなります。問題を解くときにも、まず図を描いてから取り組むことで解法が見えてくることが多いです。

具体的な数値で確認する

公式や定理が本当に正しいか、具体的な数値を代入して確認する習慣をつけましょう。公式を覚え間違えていた場合でも、具体例で確認すれば気づくことができます。

教科書の例題を何度も解く

教科書の例題は、その単元の最も基本的な問題です。例題を見なくてもスラスラ解けるようになるまで繰り返し練習することが、応用問題を解くための基盤になります。

段階的な学習計画

基礎期

まず教科書の定義と基本例題を完全に理解します。この段階では解けるスピードは気にせず、正確さを優先しましょう。

演習期

問題集の基本問題を解いて、公式の使い方に慣れます。間違えた問題にはチェックをつけて、後日必ず解き直しましょう。

段階	目標	使う教材
基礎期	定義と公式の理解	教科書
演習期	公式の運用力向上	問題集（基本）
発展期	応用力と思考力	問題集（応用）、過去問

発展期

応用問題や入試問題に挑戦します。一つの問題に複数のアプローチがないか考える習慣をつけると、数学的な思考力が養われます。

間違えたときの学び方

間違いノートを作る

間違えた問題は最大の学習教材です。問題、自分の解答、正しい解答、間違えた原因をノートにまとめておき、定期的に見返しましょう。

同じミスを繰り返さない工夫

計算ミスのパターンは人によって偏りがあります。自分がよくする計算ミスのパターンを把握し、その箇所を重点的にチェックする習慣をつけましょう。

まとめ

三角関数の公式体系を整理します。

加法定理がすべての基本となる
倍角・半角公式は加法定理から導出できる
積和・和積公式は積分や方程式で活用する
合成公式は最大最小問題に有効
公式の丸暗記よりも導出過程の理解が大切

三角関数の公式を使いこなせるようになると、数学IIの問題だけでなく、数学IIIや物理の問題も格段に解きやすくなります。