等差数列・等比数列の公式まとめ
数列は高校数学Bの中心的な単元で、規則的に並んだ数の列について、一般項や和の公式を求めます。ここでは等差数列と等比数列の公式を中心に体系的にまとめます。
数列の基本
数列とは
数列とは、ある規則に従って並べられた数の列のことです。数列の各項を第1項（初項）、第2項、第3項、…と呼び、第n項をanで表します。第n項を求める式をnの式で表したものを一般項と呼びます。
数列の表し方
数列の表し方には次の方法があります。
| 表し方 | 例 |
|---|---|
| 各項を列挙 | 1, 3, 5, 7, 9, … |
| 一般項 | an = 2n - 1 |
| 漸化式 | a1 = 1, a(n+1) = an + 2 |
等差数列
定義
隣り合う項の差が一定である数列を等差数列と呼びます。この一定の差を公差といい、dで表します。
a(n+1) - an = d（一定）
一般項の公式
初項a1、公差dの等差数列の一般項は次の通りです。
an = a1 + (n - 1)d
公式の導出
各項を順に書き出すと、
- a1 = a1
- a2 = a1 + d
- a3 = a1 + 2d
- a4 = a1 + 3d
第n項では公差dが(n-1)回加えられるので、an = a1 + (n-1)d です。
等差中項
3つの数a、b、cがこの順で等差数列をなすとき、bを等差中項と呼びます。
b = (a + c) / 2
例題
初項3、公差4の等差数列の第10項を求めます。
a10 = 3 + (10 - 1) x 4 = 3 + 36 = 39
等差数列の和
和の公式
初項a1、末項an（第n項）、項数nの等差数列の和Snは次の公式で求められます。
Sn = n(a1 + an) / 2
または、末項が不明の場合は次の形を使います。
Sn = n{2a1 + (n - 1)d} / 2
公式の導出
Sn = a1 + a2 + … + an を正順と逆順に書いて足すと、
2Sn = n(a1 + an) となることから導かれます。
例題
初項2、公差3の等差数列の初項から第20項までの和を求めます。
a20 = 2 + 19 x 3 = 59
S20 = 20 x (2 + 59) / 2 = 20 x 61 / 2 = 610
等比数列
定義
隣り合う項の比が一定である数列を等比数列と呼びます。この一定の比を公比といい、rで表します。
a(n+1) / an = r（一定、an ≠ 0）
一般項の公式
初項a1、公比rの等比数列の一般項は次の通りです。
an = a1 x r^(n-1)
公式の導出
各項を順に書き出すと、
- a1 = a1
- a2 = a1 x r
- a3 = a1 x r^2
- a4 = a1 x r^3
第n項では公比rが(n-1)回かけられるので、an = a1 x r^(n-1) です。
等比中項
3つの数a、b、cがこの順で等比数列をなすとき、bを等比中項と呼びます。
b^2 = ac
例題
初項2、公比3の等比数列の第6項を求めます。
a6 = 2 x 3^5 = 2 x 243 = 486
等比数列の和
和の公式
初項a1、公比r（r ≠ 1）、項数nの等比数列の和Snは次の公式で求められます。
Sn = a1(1 - r^n) / (1 - r)（r ≠ 1のとき）
r = 1 のときは Sn = na1 です。
公式の導出
Sn = a1 + a1r + a1r^2 + … + a1r^(n-1)
rSnを計算してSnから引くと、
Sn - rSn = a1 - a1r^n
(1 - r)Sn = a1(1 - r^n)
例題
初項1、公比2の等比数列の初項から第8項までの和を求めます。
S8 = 1 x (1 - 2^8) / (1 - 2) = (1 - 256) / (-1) = 255
シグマ記号
シグマの基本
Σ（シグマ）記号は和を簡潔に表す記号です。
Σ[k=1→n] ak = a1 + a2 + a3 + … + an
よく使うシグマの公式
| 公式 | 値 |
|---|---|
| Σ[k=1→n] c | cn |
| Σ[k=1→n] k | n(n+1)/2 |
| Σ[k=1→n] k^2 | n(n+1)(2n+1)/6 |
| Σ[k=1→n] k^3 | {n(n+1)/2}^2 |
シグマの性質
- Σ(ak + bk) = Σak + Σbk
- Σcak = cΣak
- Σ[k=1→n] c = cn
階差数列
数列{an}の隣り合う項の差を並べた数列{bn}を階差数列と呼びます。
bn = a(n+1) - an
階差数列がわかっているとき、もとの数列の一般項は次の式で求められます。
an = a1 + Σ[k=1→n-1] bk（n >= 2）
まとめ
数列の公式を整理します。
- 等差数列の一般項：an = a1 + (n-1)d
- 等差数列の和：Sn = n(a1 + an)/2
- 等比数列の一般項：an = a1 x r^(n-1)
- 等比数列の和：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)
- シグマ記号で和を簡潔に表す
- 階差数列から元の数列を復元できる
公式を丸暗記するだけでなく、導出過程を理解しておくと応用問題にも対応できます。