微分の基本公式と計算方法
微分は高校数学IIで学ぶ重要な分野で、関数の変化の様子を調べるための強力な道具です。ここでは微分の定義から基本的な計算公式、そして応用としての接線の方程式や関数の増減について解説します。
微分の定義
平均変化率と瞬間変化率
関数 f(x) のxがaからbまで変化するとき、平均変化率は次のように定義されます。
平均変化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)
この値はグラフ上の2点を結ぶ直線の傾きに相当します。
bをaに限りなく近づけたときの極限値を瞬間変化率（微分係数）と呼び、f’(a) と表します。
f’(a) = lim[h→0] (f(a + h) - f(a)) / h
導関数
微分係数 f’(a) のaをxに置き換えたものを導関数と呼び、f’(x) と表します。
f’(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x)) / h
関数f(x)からf’(x)を求めることを「f(x)を微分する」と言います。
基本的な微分公式
累乗の微分
最も基本的な公式は次の通りです。
| 関数 f(x) | 導関数 f’(x) |
|---|---|
| c（定数） | 0 |
| x | 1 |
| x^2 | 2x |
| x^3 | 3x^2 |
| x^n | nx^(n-1) |
一般に、x^n を微分すると nx^(n-1) になります。指数を前に出して、指数を1つ下げるという操作です。
定数倍の微分
{cf(x)}’ = cf’(x)
定数は微分の前に出せます。
例：(3x^2)’ = 3 x 2x = 6x
和と差の微分
{f(x) + g(x)}’ = f’(x) + g’(x)
{f(x) - g(x)}’ = f’(x) - g’(x)
各項を個別に微分して足し引きします。
具体的な計算例
多項式の微分
例題1：f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 5 を微分せよ。
f’(x) = 12x^2 - 6x + 2
各項を個別に微分します。定数項 -5 は微分すると0になります。
例題2：f(x) = (x + 2)(x - 3) を微分せよ。
まず展開します。f(x) = x^2 - x - 6
f’(x) = 2x - 1
微分係数の計算
f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 のとき、x = 2 における微分係数を求めます。
f’(x) = 3x^2 - 4x
f’(2) = 3 x 4 - 4 x 2 = 12 - 8 = 4
接線の方程式
接線の公式
曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線の方程式は次の通りです。
y - f(a) = f’(a)(x - a)
つまり、接線の傾きは微分係数 f’(a) に等しくなります。
例題
y = x^2 上の点 (1, 1) における接線の方程式を求めます。
- f(x) = x^2 より f’(x) = 2x
- f’(1) = 2（接線の傾き）
- y - 1 = 2(x - 1)
- y = 2x - 1
曲線外の点からの接線
曲線上にない点から接線を引く場合は、接点を(t, f(t))とおいて条件を立式します。
例題：y = x^2 に点(0, -1)から引いた接線を求めます。
- 接点を(t, t^2)とおく
- 接線の傾き：f’(t) = 2t
- 接線の方程式：y - t^2 = 2t(x - t) → y = 2tx - t^2
- (0, -1)を通る条件：-1 = -t^2 → t^2 = 1 → t = 1, -1
- 接線：y = 2x - 1 と y = -2x - 1
関数の増減と極値
増減の判定
f’(x) > 0 のとき、f(x)は増加する。 f’(x) < 0 のとき、f(x)は減少する。
極値とは
f’(x) = 0 となる点の前後でf’(x)の符号が変わるとき、その点でf(x)は極値をとります。
- 正から負に変わる → 極大値
- 負から正に変わる → 極小値
増減表の書き方
例題：f(x) = x^3 - 3x の増減を調べます。
f’(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)
f’(x) = 0 となるのは x = -1, 1
| x | … | -1 | … | 1 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
x = -1 で極大値 f(-1) = 2 x = 1 で極小値 f(1) = -2
方程式・不等式への応用
方程式の実数解の個数
関数のグラフを利用して、方程式の実数解の個数を求めることができます。方程式 f(x) = k の実数解の個数は、y = f(x) のグラフと直線 y = k の交点の個数に等しくなります。
不等式の証明
f(x) >= 0 を証明するには、f(x)の最小値が0以上であることを示せばよいです。微分して増減表を書き、最小値を求めます。
まとめ
微分法の学習ポイントを整理します。
- x^n の微分は nx^(n-1) が基本
- 接線の方程式には微分係数を使う
- 増減表を正確に書けるようにする
- 極大値・極小値はf’(x) = 0 だけでなく符号変化も確認する
- グラフを描くことで方程式や不等式の問題に応用できる
微分は積分と合わせて高校数学の中核をなす分野です。基本計算を確実にした上で、応用力を養いましょう。