微分積分の公式一覧
微分と積分は高校数学の中核をなす分野です。ここでは微分・積分で使う公式を体系的に整理し、それぞれの使い方と注意点を解説します。数学IIの範囲を中心に、数学IIIの一部も含めてまとめます。
微分の基本公式
導関数の定義
f’(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x)) / h
この定義から各種の微分公式が導かれます。
累乗関数の微分
| 関数 f(x) | 導関数 f’(x) | 備考 |
|---|---|---|
| c（定数） | 0 | 定数の微分は0 |
| x^n | nx^(n-1) | nは整数 |
| x | 1 | n=1の場合 |
| x^2 | 2x | n=2の場合 |
| x^3 | 3x^2 | n=3の場合 |
微分の線形性
- {f(x) + g(x)}’ = f’(x) + g’(x)
- {f(x) - g(x)}’ = f’(x) - g’(x)
- {cf(x)}’ = cf’(x)（cは定数）
これらの性質により、多項式は各項を個別に微分して合計すればよいことがわかります。
積の微分と商の微分（数学III）
積の微分
{f(x)g(x)}’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
2つの関数の積を微分する公式です。
商の微分
{f(x)/g(x)}’ = {f’(x)g(x) - f(x)g’(x)} / {g(x)}^2
分数の形の関数を微分する公式です。
合成関数の微分（数学III）
公式
y = f(g(x)) のとき、
dy/dx = f’(g(x)) x g’(x)
外側の関数を微分して、内側の関数の微分をかけます。
例
y = (2x + 1)^3 を微分します。
外側：u^3 → 3u^2、内側：2x + 1 → 2
y’ = 3(2x + 1)^2 x 2 = 6(2x + 1)^2
三角関数の微分（数学III）
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | 1/cos^2 x |
活用例
f(x) = sin 2x の微分を合成関数の微分で求めます。
f’(x) = cos 2x x 2 = 2cos 2x
指数関数・対数関数の微分（数学III）
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| e^x | e^x |
| a^x | a^x ln a |
| ln x | 1/x |
| log_a x | 1/(x ln a) |
e^xを微分するとe^x自身になるという性質は、自然対数の底eの最も重要な特徴です。
積分の基本公式
不定積分の定義
∫f(x)dx = F(x) + C
ここでF’(x) = f(x)、Cは積分定数です。
累乗関数の積分
| 関数 f(x) | 不定積分 ∫f(x)dx |
|---|---|
| x^n (n ≠ -1) | x^(n+1)/(n+1) + C |
| 1（定数） | x + C |
| x | x^2/2 + C |
| x^2 | x^3/3 + C |
| x^3 | x^4/4 + C |
積分の線形性
- ∫{f(x) + g(x)}dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
- ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx
三角関数の積分（数学III）
| 関数 | 不定積分 |
|---|---|
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos^2 x | tan x + C |
指数関数・対数関数の積分（数学III）
| 関数 | 不定積分 |
|---|---|
| e^x | e^x + C |
| a^x | a^x / ln a + C |
| 1/x | ln |
定積分の公式
基本定理
∫[a→b] f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
定積分の性質
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 線形性 | ∫[a→b]{cf(x) + dg(x)}dx = c∫[a→b]f(x)dx + d∫[a→b]g(x)dx |
| 区間の分割 | ∫[a→b]f(x)dx = ∫[a→c]f(x)dx + ∫[c→b]f(x)dx |
| 端点の交換 | ∫[a→b]f(x)dx = -∫[b→a]f(x)dx |
| 偶関数 | ∫[-a→a]f(x)dx = 2∫[0→a]f(x)dx |
| 奇関数 | ∫[-a→a]f(x)dx = 0 |
面積の公式
曲線とx軸の間の面積
S = ∫[a→b] |f(x)| dx
2曲線間の面積
上側の関数をf(x)、下側をg(x)とすると、
S = ∫[a→b] {f(x) - g(x)} dx
1/6 公式
y = a(x - α)(x - β)（a ≠ 0）とx軸で囲まれた面積は、
S = |a|/6 x (β - α)^3
この公式を使うと、二次関数とx軸で囲まれた面積を素早く求められます。
1/12 公式
2つの放物線 y = f(x) と y = g(x) の交点のx座標がα、βのとき、
S = |a|/12 x (β - α)^3（aは二次の係数の差）
置換積分と部分積分（数学III）
置換積分
∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du（u = g(x)とおく）
部分積分
∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx
まとめ
微分積分の公式を使いこなすためのポイントです。
- 基本の累乗の微分・積分は確実に身につける
- 微分と積分が逆演算であることを意識する
- 積分定数Cのつけ忘れに注意する
- 面積計算では上下関係を正しく把握する
- 1/6公式や1/12公式は計算の効率化に有効
- 数学IIIの公式は数学IIの公式を拡張したもの
これらの公式を整理して覚えておくことで、入試問題の計算時間を大幅に短縮できます。