面積・体積の公式まとめ
面積と体積の公式は、中学数学から高校数学まで幅広く使われます。ここでは平面図形の面積公式と立体図形の体積公式を体系的にまとめ、それぞれの使い方を計算例とともに解説します。
平面図形の面積公式
三角形
| 公式 | 条件 |
|---|---|
| S = (底辺 x 高さ) / 2 | 底辺と高さがわかるとき |
| S = (1/2)ab sin C | 2辺a,bとその間の角Cがわかるとき |
| S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} | 3辺がわかるとき（ヘロンの公式） |
ヘロンの公式ではs = (a + b + c) / 2（半周長）です。
計算例：底辺6cm、高さ4cmの三角形
S = 6 x 4 / 2 = 12 (cm^2)
計算例：2辺が5cmと8cm、間の角が60度の三角形
S = (1/2) x 5 x 8 x sin 60度 = 20 x (√3/2) = 10√3 (cm^2)
四角形
| 図形 | 面積公式 |
|---|---|
| 正方形 | S = a^2（aは一辺の長さ） |
| 長方形 | S = ab（a, bは縦と横） |
| 平行四辺形 | S = 底辺 x 高さ |
| 台形 | S = (上底 + 下底) x 高さ / 2 |
| ひし形 | S = 対角線1 x 対角線2 / 2 |
計算例：上底3cm、下底7cm、高さ4cmの台形
S = (3 + 7) x 4 / 2 = 20 (cm^2)
円
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| 面積 | S = πr^2 |
| 円周 | L = 2πr |
| 直径から | S = πd^2/4（d = 2r） |
計算例：半径5cmの円
S = π x 25 = 25π (cm^2)
おうぎ形
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| 面積 | S = πr^2 x (θ/360) |
| 弧の長さ | l = 2πr x (θ/360) |
| 弧を使った面積 | S = lr / 2 |
ここでθは中心角（度数法）、rは半径です。
計算例：半径8cm、中心角90度のおうぎ形
S = π x 64 x (90/360) = 16π (cm^2)
l = 2π x 8 x (90/360) = 4π (cm)
正多角形
正n角形の面積（一辺の長さがaのとき）は次の公式で求められます。
S = (na^2) / (4 tan(π/n))
主な正多角形の面積は次の通りです。
| 図形 | 面積 |
|---|---|
| 正三角形 | (√3/4)a^2 |
| 正六角形 | (3√3/2)a^2 |
立体図形の体積公式
角柱・円柱
| 図形 | 体積公式 | 表面積 |
|---|---|---|
| 角柱 | V = 底面積 x 高さ | 底面積x2 + 側面積 |
| 円柱 | V = πr^2h | 2πr^2 + 2πrh |
計算例：底面の半径3cm、高さ10cmの円柱
V = π x 9 x 10 = 90π (cm^3)
表面積 = 2π x 9 + 2π x 3 x 10 = 18π + 60π = 78π (cm^2)
角錐・円錐
| 図形 | 体積公式 | 側面積 |
|---|---|---|
| 角錐 | V = 底面積 x 高さ / 3 | 各側面の三角形の和 |
| 円錐 | V = πr^2h / 3 | πrl（lは母線） |
角錐・円錐の体積は、同じ底面積・高さの柱体の1/3です。
計算例：底面の半径4cm、高さ9cmの円錐
V = π x 16 x 9 / 3 = 48π (cm^3)
球
| 公式 | 式 |
|---|---|
| 体積 | V = (4/3)πr^3 |
| 表面積 | S = 4πr^2 |
計算例：半径6cmの球
V = (4/3) x π x 216 = 288π (cm^3)
S = 4π x 36 = 144π (cm^2)
球の体積と表面積の関係
球の体積Vと表面積Sの間には次の関係があります。
V = Sr / 3
これは球を中心から無数の小さな錐体に分割することで理解できます。
回転体の体積
回転体とは
平面図形をある直線（回転軸）のまわりに回転させてできる立体を回転体と呼びます。
パップス・ギュルダンの定理
回転体の体積 = 回転させる図形の面積 x 重心が描く円の周長
V = 2π x d x S（dは重心から回転軸までの距離、Sは断面積）
積分による体積
y = f(x) をx軸のまわりに回転させた回転体の体積は、
V = π∫[a→b] {f(x)}^2 dx
相似と面積・体積の関係
相似比がk:1のとき、
| 量 | 比 |
|---|---|
| 長さ | k : 1 |
| 面積 | k^2 : 1 |
| 体積 | k^3 : 1 |
つまり、相似比がk倍になると面積はk^2倍、体積はk^3倍になります。
計算例：相似比が2:3の2つの円錐があり、小さい方の体積が16πcm^3のとき、大きい方の体積は
16π x (3/2)^3 = 16π x 27/8 = 54π (cm^3)
まとめ
面積・体積の公式を使いこなすためのポイントです。
- 平面図形は三角形の面積を基本として他の図形に応用する
- 円とおうぎ形ではπの扱いに注意する
- 錐体の体積は柱体の1/3であることを覚えておく
- 球の公式は体積が(4/3)πr^3、表面積が4πr^2
- 相似比と面積比・体積比の関係を理解する
公式を正確に覚えた上で、複合図形への応用力を養いましょう。